Dickman function, Dickman–de Bruijn function
딕맨 함수
\rho는 상한이 주어졌을 때 그에 존재하는 부드러운 정수의 개수를 세기 위해 도입된 함수이다. 딕맨(Karl Dickman)의 논문
(1)에서 최초로 정의되었으며, 이후 드 부르진(Nicolaas Govert de Bruijn)에 의해 연구되었다.
(2)(3)목차
1. 정의
2. 성질
2.1. 상한, 하한
2.1.1. 증명
2.2. 함수식
3. 부드러운 정수와의 관계
4. 참고문헌
딕맨 함수 \rho(u)는 지연미분방정식 u\rho'(u)+\rho(u-1)=0과 초기조건\rho(u)=0 \text{ at } [0,1]을 만족하는 연속함수로 정의된다. \Bbb R^+_0를 정의역으로 가진다.
정의의 지연미분방정식을 이용 및 변형하여 다양한 성질을 찾아낼 수 있다.
우선 이항 및 양변을
u로 나누면
\rho'(u)=-\frac{\rho(u-1)}{u}가 되는데, 이를 적분하면
\rho(v)=\rho(u)-\int_u^v {\rho(t-1) \over t} dt를 얻는다. 그리고
(u\rho(u))'=\rho(u)-\rho(u-1)에서
u\rho(u)=\int_{u-1}^u \rho(v) dv\ (u\geq1)를 얻는다.
또한 다음 성질들이 성립한다.
\Bbb R^+_0에서 연속이다.- 도함수가 존재하므로 자명하다.
\Bbb R^+_0에서 양의 값을 가진다. 즉, 근이 존재하지 않는다.- 근이 존재한다고 가정하면 근의 집합의 하한
u_0를 잡을 수 있다. \rho가 연속이므로 \rho(u_0)=0이 성립하게 되는데,u_0\rho(u_0)=\int_{u_0-1}^{u_0} \rho(v) dv- 에서 좌변은 0이지만
[0,u_0)에서 \rho>0이므로 우변은 0보다 크다. 따라서 모순이 발생하고, \rho의 근은 존재하지 않는다. \rho(0)=1>0이므로 \rho는 \Bbb R^+_0에서 양의 값을 가진다. (1,+\infty)에서 감소한다.u\rho'(u)=-\rho(u-1)에서 \rho'(u)<0\ \forall u>1을 얻는다. 따라서 \rho는 (1,+\infty)에서 감소한다.- 최댓값은
[0,1]에서 1이며, 최솟값은 존재하지 않는다. - 감소함수이므로 자명하다.
귀납법을 사용하면 어렵지 않게 다음을 증명할 수 있다.
{1\over2\Gamma(2u+1)} \leq \rho(u) \leq {1\over\Gamma(u+1)}
우선 상한을 보이자.
임의의 U\in\Bbb N에 대해 0\leq u\leq U일 때 상한이 성립함을 U에 대한 귀납법을 사용하여 증명할 것이다.
\Gamma(1)=\Gamma(2)=1,\ \Gamma''(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{-s-1}(\log x)^2 dx >0\ (0<s<\infty)
이므로 1\leq s\leq 2에서 \Gamma(s)\leq1이다. 따라서 초기조건이 성립한다.
\rho가 감소함수이므로
u\rho(u)=\int_{u-1}^u \rho(v)dv \leq \rho(u-1)
이다. 따라서 0\leq u\leq U일 때 상한이 성립한다고 가정했을 때, U\leq u\leq U+1이면
\rho(u) \leq {\rho(u-1)\over u} \leq {1\over u\Gamma(u)} = {1\over\Gamma(u+1)}
로 상한이 성립한다. 따라서 귀납조건이 성립하고, 상한이 증명되었다.
이제 하한을 보이자.
u에 v/2를 대입하면, 보이고자 하는 것은
\rho({v\over2}) \geq {1\over2\Gamma(v+1)}
가 된다. 이제 상한에서와 같이 임의의 V\in\Bbb N에 대해 0\leq v\leq V일 때 하한이 성립함을 V에 대한 귀납법을 사용하여 증명할 것이다.
위에서 보였듯이
\Gamma(1)=\Gamma(2)=1,\ \Gamma''(s)>0\ (0<s<\infty)
이므로 0<s\leq1,\ s\geq2일 때 \Gamma(s)\geq1이다.
또한 1\leq s\leq2이면
\begin{aligned} \Gamma(s)&=\int_0^\infty e^{-x}x^{-s-1} dx \\ &\geq \int_0^1 e^{-x}x dx + \int_1^\infty e^{-x} dx \\ &=1-{1\over e} > {1\over2} \end{aligned}
이므로 임의의 s>0에 대해 \Gamma(s)\geq{1\over2}가 성립한다.
따라서 0\leq v\leq2에서 {1\over2\Gamma(v+1)}\leq\rho({v\over2})=1이고, 초기조건이 성립한다.
\rho가 감소함수이므로
u\rho(u)=\int_{u-1}^u \rho(v)dv \geq \int_{u-{1\over2}}^u \rho(v)dv \geq {\rho(u-{1\over2})\over2}
이다. 따라서 0\leq v\leq V에서 하한이 성립한다고 가정했을 때, V\leq v\leq V+1이면
\rho({v\over2}) \geq {\rho({v-1\over2})\over v} \geq {1\over2v\Gamma(v)} = {1\over2\Gamma(v+1)}
로 하한이 성립한다. 따라서 귀납조건이 성립하고, 하한이 증명되었다.
라플라스 변환과 역라플라스 변환을 사용하면 다음을 증명할 수 있다.
s\in\Bbb R 또는 s\in\Bbb C일 때,
\int_0^\infty \rho(u)e^{-us}du = \exp\left(\gamma+\int_0^s {e^{-z}-1 \over z} dz\right)
u>0,\ \sigma_0\in\Bbb R일 때,
\rho(u) = {e^\gamma \over 2\pi i} \int_{\sigma_0-i\infty}^{\sigma_0+i\infty} \exp\left(\int_0^s {e^{-z}-1 \over z} dz\right) e^{us} ds
3. 부드러운 정수와의 관계 ✎
\psi(x,y)를 x 이하의 y-부드러운 정수, 즉 y 이하의 소인수만을 가지는 x 이하의 자연수의 개수라고 할 때, 다음이 성립한다.
\psi(x,y)=x\rho(u)+O({x\over\log x})
이 때, u=\log x/\log y이다. 따라서 \phi(x,x^{1\over u}) \sim \rho(u)x도 성립한다.
- Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory. I. Classical theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-84903-9
